วันพฤหัสบดีที่ 8 ตุลาคม พ.ศ. 2552

การวัดค่ากลางของข้อมูล

การหาค่ากลางของข้อมูลที่เป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งหมดเพื่อความสะดวกในการสรุปเรื่องราวเกี่ยวกับข้อมูลนั้นๆ จะช่วยทำให้เกิดการวิเคราะห์ข้อมูลถูกต้องดีขึ้น การหาค่ากลางของข้อมูลมีวิธีหาหลายวิธี แต่ละวิธีมีข้อดีและข้อเสีย และมีความเหมาะสมในการนำไปใช้ไม่เหมือนกัน ขึ้นอยู่กับลักษณะข้อมูลและวัตถุประสงค์ของผู้ใช้ข้อมูลนั้นๆ

ค่ากลางของข้อมูลที่สำคัญ มี 3 ชนิด คือ

1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean)

2. มัธยฐาน (Median)

3. ฐานนิยม (Mode)

1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean)
ใช้สัญลักษณ์ คือ
http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn_s/pictures/x.JPG

1.1 การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่

ให้ x 1 , x 2 , x 3 , …, x N เป็นข้อมูล N ค่า

http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn_s/pictures/21.JPG

1.2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่

ถ้า f 1 , f 2 , f 3 , … , f k เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต x 1 , x 2 , x 3 ,…. , x k

http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn_s/pictures/26.JPG

http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn_s/pictures/27.JPG

2 . มัธยฐาน (Median)
ใช้สัญลักษณ์ Med คือ ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด เมื่อได้เรียงข้อมูลตามลำดับ ไม่ว่าจากน้อยไปมาก หรือจากมากไปน้อย

การหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่
หลักการคิด
1 ) เรียงข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดจากน้อยไปมาก หรือมากไปน้อยก็ได้
2) ตำแหน่งมัธยฐาน คือ ตำแหน่งกึ่งกลางข้อมูล ดังนั้นตำแหน่งของมัธยฐาน =
http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn_s/pictures/46.JPG

เมื่อ N คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด

3) มัธยฐาน คือ ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด

3. ฐานนิยม (Mode)

การหาฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
หลักการคิด
- ให้ดูว่าข้อมูลใดในข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมด มีการซ้ำกันมากที่สุด( ความถี่สูงสุด) ข้อมูลนั้นเป็นฐานนิยมของข้อมูลชุดนั้น
หมายเหตุ
- ฐานอาจจะไม่มี หรือ มีมากกว่า 1 ค่าก็ได้


***********************************************************


นางสาวธนาพร กลัมพสุต
รหัส 52050576
คณะวิทยาศาสตร์ สาขาสถิติประยุกต์

ศัพท์ที่ใช้ในตารางแจกแจงความถี่

1. อันตรภาคชั้น (Class Interval) หรือเรียกสั้นๆ ว่า ชั้น หมายถึง ช่วงของคะแนนในแต่ละพวกที่แบ่ง
อันตรภาคชั้นต่ำสุด หมายถึง อันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าต่ำสุดอย

อันตรภาคชั้นสูงสุด หมายถึง อันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าสูงสุดอยู่
อันตรภาคชั้นต่ำกว่า หมายถึง อันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า
อันตรภาคชั้นสูงกว่า หมายถึง อันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่ามากกว่า
2. ความถี่ (Frequency) หมายถึง จำนวนข้อมูลที่มีอยู่ในแต่ละอันตรภาคชั้น
3. ตารางแจกแจงความถี่ (Frequency Distribution Table) หมายถึง ตารางที่เขียนเรียงลำดับข้อมูล และแสดงให้เห็นว่าแต่ละข้อมูล หรือกลุ่มข้อมูลมีความถี่เท่าใด
4. ขอบล่าง (Lower Boundary) ของอันตรภาคชั้น หมายถึง ค่ากึ่งกลางระหว่างค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้นกับค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ต่ำกว่าหนึ่งชั้น หรือขอบล่างเท่ากับค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นบวกกับค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ต่ำกว่าหนึ่งชั้นแล้วหารด้วย 2
5. ขอบบน (Upper Boundary) ของอันตรภาคชั้น หมายถึง ค่ากึ่งกลางระหว่างค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้นกับค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่สูงกว่าหนึ่งชั้น หรือขอบบนเท่ากับค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้นบวกกับค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่สูงกว่าหนึ่งชั้น แล้วหารด้วย 2
จะเห็นว่า ขอบบนของอันตรภาคชั้นหนึ่งย่อมเท่ากับขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่สูงกว่าหนึ่งชั้นเสมอ
6. ความกว้างของอันตรภาคชั้น (Interval) หมายถึง ผลต่างระหว่างขอบบนและขอบล่างของอันตรภาคชั้นนั้น
7. จุดกึ่งกลางชั้น (Middle Point) ของอันตรภาคชั้น หมายถึง ค่ากึ่งกลางระหว่างขอบล่างและขอบบนของอันตรภาคชั้นนั้น นิยมใช้สัญลักษณ์ X

http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn_s/pictures/1.JPG

http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn_s/pictures/2.JPG

----------------------------------------------
พีระศักดิ์ ธรรมาวุฒิ
คณะวิทยาศาสตร์ สาขาสถิติประยุกต์ 52050592

จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น

จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นในกรณีที่นำเสนอข้อมูลในลักษณะตารางแจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น และเราไม่ทราบค่าข้อมูลเดิม แต่เราจำเป็นต้องนำค่าข้อมูลไปคำนวณ จึงต้องหาค่าใดค่าหนึ่งเป็นตัวแทนของค่าข้อมูลในอันตรภาคชั้นดังกล่าว ซึ่งคือค่าที่เป็นจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นนั้น โดยหาได้จาก

http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn_s/pictures/7.JPG

http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn_s/pictures/8.JPG

ตัวอย่าง จากตารางแจกแจงความถี่ข้างต้น

http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn_s/pictures/9.JPG

#############################################


นายทรงพล บัญญัติ


รหัส 52050571 สถิติประยุกต์

การสร้างตารางแจกแจงความถี่ && ขอบบนและขอบล่างของแต่ละอันตรภาคชั้น

การสร้างตารางแจกแจงความถี่
ควรทำเป็นขั้นตอนดังนี้
1. หาพิสัย (Range) โดย พิสัย = ค่าสูงสุด - ค่าต่ำสุด
2. ถ้าโจทย์กำหนดจำนวนอันตรภาคชั้นมาให้ เราต้องคำนวณหาความกว้างของแต่ละ อันตรภาคชั้น โดยใช้หลักเกณฑ์ดังนี้


http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn_s/pictures/3.JPG


ถ้า I เป็นทศนิยม ให้ปัดขึ้นเป็นจำนวนเต็มเสมอ
ถ้าโจทย์กำหนดความกว้างของอันตรภาคชั้นมาให้ เราสามารถหาจำนวนของอันตรภาคชั้น โดยใช้หลักเกณฑ์ได้ดังนี้

http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn_s/pictures/4.JPG


ถ้าโจทย์กำหนดจุดกึ่งกลางมาให้ เราสามารถหาความกว้างของอันตรภาคชั้นได้ดังนี้
ความกว้างของอันตรภาคชั้น = ผลต่างของจุดกึ่งกลางของชั้นที่อยู่ติดกัน
3. เขียนอันตรภาคชั้นเรียงตามลำดับ แล้วดูว่าค่าจากการสังเกตแต่ละค่าของข้อมูลอยู่ในอันตรภาคชั้นใด ก็ให้ขีด “ | ” ลงในอันตรภาคชั้นไปเรื่อยๆ จนครบทุกค่าจากการสังเกตของข้อมูล
4. นับจำนวนขีดในแต่ละอันตรภาคชั้นและสรุปออกมาเป็นจำนวน ซึ่งจำนวนดังกล่าวคือความถี่ (f)

ตัวอย่าง จากข้อมูลต่อไปนี้ จงสร้างตารางแจกแจงความถี่ โดยให้มีอันตรภาคชั้นจำนวน 8 ชั้น

74 68 73 62 78 65 98 75 83 69

76 64 75 70 91 86 78 58 54 65

80 85 80 94 56 68 66 77 53 86

1. หาพิสัย = ค่ามากที่สุด - ค่าน้อยที่สุด
= 98-53
= 45

2. หาความกว้างของอันตรภาคชั้น หรือจำนวนชั้น จากสูตร

http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn_s/pictures/5.JPG

3. เขียนอันตรภาคชั้นเรียงตามลำดับ โดยให้ค่าที่น้อยที่สุดอยู่ในชั้นที่ 1 และค่าที่มากที่สุดอยู่ในชั้นสุดท้าย ( ชั้นสูงสุด )

4. ดูว่าค่าของข้อมูลแต่ละค่าอยู่ในอันตรภาคชั้นใด ให้บันทึกในช่องรอยขีด

5. นับจำนวนรอยขีดในแต่ละอันตรภาคชั้น ใส่ในช่องความถี่

จากข้อมูลข้างต้น ได้ตารางแจกแจงความถี่ดังนี้ ( จำนวน 8 ชั้น )

อันตรภาคชั้น

รอยขีด

ความถี่

53 – 58

59 – 64

65 – 70

71 – 76

77 – 82

83 – 88

89 – 94

95 - 100


4

2

7

5

5

4

2

1

รวม


30

จากตารางข้างต้น

เรียก 53 ว่า ค่าน้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ 1
เรียก 58 ว่า ค่ามากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ 1
เรียก 59 ว่า ค่าน้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ 2
เรียก 64 ว่า ค่ามากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ 2


จากตารางแจกแจงความถี่ข้างต้น ถ้ามีค่าข้อมูลเป็น 64.8 เราจะต้องมีอันตรภาคชั้นที่ครอบคลุมค่านี้ ดังนั้นเพื่อให้อันตรภาคชั้นครอบคลุมค่าข้อมูลได้หมดทุกค่า แต่ละอันตรภาคชั้นต้องขยายออกไปข้างละครึ่งหนึ่ง

http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn_s/pictures/6.JPG

เรียก 58.5 ว่า ขอบบนของอันตรภาคชั้นที่ 1 หรือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่ 2
เรียก 64.5 ว่า ขอบบนของอันตรภาคชั้นที่ 2 หรือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่ 3
ดังนั้น อันตรภาคชั้น 53 – 58 จะครอบคลุมค่าข้อมูลตั้งแต่ 52.5 – 58
อันตรภาคชั้น 59 – 64 จะครอบคลุมค่าข้อมูลตั้งแต่ 58.5 – 64.5


*********************************************************************

นายณัฏพล ถาวรวิศิษฐพร

คณะวิทยาศาสตร์ สาขาสถิติประยุกต์ รหัส 52050564

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

1. การแจกแจงแบบทวินาม (Binomial Distribution)
คุณสมบัติของการทดลองแบบทวินาม
1. ประกอบด้วยการกระทำหรือการทดลองซ้ำๆ กัน n ครั้ง
2. แต่ละครั้งของการกระทำหรือการทดลองมีผล 2 อย่างคือ สำเร็จ (S:Success) กับไม่สำเร็จ (F:Failure)
3. ตลอดการกระทำหรือการทดลอง ความน่าจะเป็นของความสำเร็จ (S) = p และความน่าจะเป็นของความไม่สำเร็จ (F) = q
4. การกระทำหรือการทดลองในแต่ละครั้งต้องเป็นอิสระจากกัน

2. การแจกแจงแบบปัวส์ซอง (Poisson Distribution)
คุณสมบัติของการแจกแจงแบบปัวส์ซอง
เป็นปรากฏการณ์ หรือการทดลองที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาหนึ่ง หรือขอบเขตหนึ่ง
ถ้าให้ x แทนตัวแปรของเหตุการณ์ที่สนใจในช่วงเวลาหนึ่งหรือในขอบเขตหนึ่ง โดยที่ค่าของตัวแปร x มีจำนวนไม่จำกัด เช่น
x แทนจำนวนลูกค้าที่เข้ามาซื้อของในห้างสรรพสินค้า ในช่วงเวลา 12.00 – 15.00 น.
x แทนจำนวนรอยตำหนิบนผ้า 1 ผืน
x แทนจำนวนโทรศัพท์ที่ลูกค้าโทรเข้ามาติดต่อซื้อสินค้าใน 1 วัน

จะได้ว่า x อาจจะมีค่าเป็น 0, 1, 2, 3,…………
จะเห็นได้ว่า ค่า x ต่างๆ ที่กล่าวมา จะมีจำนวนครั้งที่ไม่แน่นอน จึงใช้การแจกแจงแบบปัวส์ซองเข้ามาช่วยแก้ปัญหาในการหาค่าความน่าจะเป็นดังกล่าว
ฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบปัวส์ซอง

โดยที่ x = 0 , 1 , 2 , …………….
e = ค่าคงที่ 2.71828.
= ค่าเฉลี่ยของเหตุการณ์หรือการทดลองที่สนใจ

3. การแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution)
เป็นการแจกแจงทางสถิติที่สำคัญที่สุด เพราะเป็นการแจกแจงของตัวแปรที่เกิดตามธรรมชาติทั่วไป เช่น ราคาสินค้าแต่ละชนิด คุณภาพสินค้าที่ผลิตในโรงงาน ระดับความฉลาดทางปัญญา (I.Q.) ฯลฯ
ลักษณะของรูปโค้งการแจกแจงแบบปกติ
1) เป็นโค้งที่สมมาตร
2) มีค่าเฉลี่ย () มัธยฐาน (Me) และฐานนิยม (Mo) อยู่ ณ จุดเดียวกัน
3) ถ้า = 0 และ = 1 จะเรียกว่าการแจกแจงปกติมาตรฐาน
4) พื้นที่ใต้โค้งทั้งหมด มีค่าเท่ากับ 1


Mean , Median , Mode



$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$


นายคณิณ นวพรพิศิษฐ์ รหัส 52050550 สถิติประยุกต์


การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น

ความหมายของคำต่างๆที่จะช่วยให้เข้าใจวิธีการทางสถิติมากขึ้น มีดังนี้

กลุ่มประชากร หมายถึง กลุ่มที่มีลักษณะที่เราสนใจ หรือกลุ่มที่เราต้องการจะศึกษาหาข้อมูลที่เกี่ยวข้อง เปรียบเหมือนเอกภพสัมพัทธ์ในเรื่องเซต
กลุ่มตัวอย่าง หมายถึง ส่วนหนึ่งของกลุ่มประชากรที่เราสนใจ ในกรณีที่กลุ่มประชากรที่จะศึกษานั้นเป็นกลุ่มขนาดใหญ่ เกินความสามารถหรือความจำเป็นที่ต้องการ หรือเพื่อประหยัดในด้านงบประมาณและเวลา สามารถศึกษาข้อมูลเพียงบางส่วนของกลุ่มประชากรได้
ค่าพารามิเตอร ์ หมายถึง ค่าต่างๆที่คำนวณมาจากกลุ่มประชากร จะถือเป็นค่าคงตัว กล่าวคือ คำนวณกี่ครั้งๆก็จะไม่เปลี่ยนแปลง
ค่าสถิติ หมายถึง ค่าต่างๆที่คำนวณมาจากกลุ่มตัวอย่าง จะเป็นค่าที่เปลี่ยนแปลงได้ตจามกลุ่มตัวอย่างที่เลือกสุ่มมา จึงถือว่าเป็นค่าตัวแปรสุ่ม
ตัวแปร ในทางสถิติ หมายถึง ลักษณะบางอย่างที่เราสนใจ ค่าของตัวแปร อาจอยู่ในรูปข้อความ หรือตัวเลขก็ได้
ค่าที่เป็นไปได้ หมายถึง ค่าของตัวแปรที่อาจจะเกิดขึ้นได้จริง
ค่าจากการสังเกต หมายถึง ค่าที่เก็บรวบรวมได้มาจริงๆ

การแจกแจงความถี่ของข้อมูล (Frequency Distribution)
เป็นวิธีการทางสถิติอย่างหนึ่งที่ใช้ในการจัดข้อมูลที่มีอยู่ หรือที่เก็บรวบรวมมาได้ให้อยู่เป็นกลุ่มๆ เพื่อสะดวกในการวิเคราะห์ข้อมูลเหล่านั้น
การแจกแจงความถี่ จัดเป็น 2 ลักษณะ ดังนี้
1. การแจกแจงความถี่แบบไม่จัดเป็นอันตรภาคชั้น ใช้กับข้อมูลที่มีค่าสูงสุดและต่ำสุดของข้อมูลไม่แตกต่างกันมากนัก หรือข้อมูลที่มีค่าของจำนวนที่ต่างกันมีไม่มาก
2. การแจกแจงความถี่แบบจัดเป็นอันตรภาคชั้น ใช้กับข้อมูลที่มีค่าสูงสุดและต่ำสุดของ
ข้อมูลแตกต่างกันมาก หรือการแจกแจงไม่สะดวกที่จะใช้ค่าสังเกตทุกๆค่า เพื่อความสะดวกจึงใช้วิธีแจกแจงความถี่ของค่าที่เป็นไปได้แทน โดยแบ่งค่าที่เป็นไปได้ออกเป็นช่วง หรืออันตรภาคชั้น (Interval)


****************************************************

นายณัฐกิตติ์ อรุณประเสริฐกุล

คณะวิทยาศาสตร์ สาขาสถิติประยุกต์ รหัส 52050565

วันพุธที่ 7 ตุลาคม พ.ศ. 2552

สถิติเบื้องต้น

ความหมายของสถิติ

การจำแนกข้อมู

1.ข้อมูลที่จำแนกตามลักษณะของข้อมูล แบ่งเป็น 2 ประเภท
1.1
ข้อมูลเชิงปริมาณ คือข้อมูลที่ใช้แทนขนาดหรือปริมาณวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขที่สามารถนำมาใช้เปรียบเทียบขนาดได้โดยตรง
1.2
ข้อมูลเชิงคุณภาพ คือข้อมูลที่ไม่สามารถวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขโดยตรงได้ แต่วัดออกมาในเชิงคุณภาพได้ เช่น เพศของสมาชิกในครอบครัว ซึ่งการวิเคราะห์ข้อมูลประเภทนี้ ส่วนใหญ่ทำโดยการนับจำนวนจำแนกตามลักษณะเชิงคุณภาพ
2. ข้อมูลจำแนกตามวิธีการเก็บรวบรวม
2.1
ข้อมูลปฐมภูมิ คือ ข้อมูลที่ได้จากการรวบรวมจากผู้ที่ให้ข้อมูลหรือแหล่งที่มาโดยตรง
2.1.1 การสำมะโน คือ การเก็บรวบรวมข้อมูลจากทุกหน่วยของประชากรที่ต้องการศึกษา
2.1.2 การสำรวจจากกลุ่มตัวอย่าง คือ การเก็บรวบรวมข้อมูลที่ประกอบด้วยตัวแทนจากทุกลักษณะของประชากรที่ต้องการศึกษา
ในทางปฏิบัติ ไม่ว่าจะทำการสำมะโนหรือการสำรวจ นิยมปฏิบัติอยู่ 5 วิธี คือ
1. การสัมภาษณ์ นิยมใช้กันมาก เพราะจะได้คำตอบทันที นอกจากนี้หากผู้ตอบไม่เข้าใจก็สามารถอธิบายเพิ่มเติมได้ แต่ผู้สัมภาษณ์ต้องซื่อสัตย์ และเข้าใจจุดมุ่งหมายของการเก็บข้อมูลอย่างแท้จริง
2. การแจกแบบสอบถาม วิธีนี้ประหยัดเวลาและค่าใช้จ่ายมาก สะดวกและสบายใจต่อการตอบแบบสอบถาม แต่ก็มีข้อเสียหลายประการ เช่น ต้องใช้ในเฉพาะผที่มีการศึกษา มีไปรษณีย์ไปถึง คำถามต้องชัดเจน อาจจะไม่ได้รับคืนตามเวลาหรือจำนวนที่ต้องการ จึงต้องส่งแบบสอบถามออกไปเป็นจำนวนมากๆ หรือไปแจกและเก็บด้วยตนเอง
3. การสอบถามทางโทรศัพท์ เป็นวิธีที่ง่าย เสียค่าใช้จ่ายน้อย ต้องเป็นการสัมภาษณ์อย่างสั้นๆ ตอบได้ทันทีโดยไม่ต้องเสียเวลาค้นหาหลักฐาน ใช้ได้เฉพาะส่วนที่มีโทรศัพท์เท่านั้น
4. การสังเกต เป็นข้อมูลที่ได้จากการสังเกตแล้วบันทึกสิ่งที่เราสนใจเอาไว้ ต้องใช้การสังเกตเป็นช่วงๆของเวลาอย่างต่อเนื่องกัน ข้อมูลจะน่าเชื่อถือได้มากน้อยขึ้นอยู่กับความเข้าใจและความชำนาญของผู้สังเกต เช่น ข้อมูลเกี่ยวกับการใช้บริการต่างๆ เช่น บริการรถโดยสาร การบริการสหกรณ์ ความหนาแน่นของการใช้ถนนสายต่างๆ เป็นต้น วิธีนี้นิยมใช้ประกอบกับการเก็บข้อมูลวิธีอื่นๆ
5. การทดลอง เป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลที่มีการทดลอง ซึ่งมักจะใช้เวลาในการทดลองนานๆ ทำซ้ำๆ
2.2 ข้อมูลทุติยภูมิ คือ ข้อมูลที่ต้องเก็บรวบรวมจากผู้ที่ให้ข้อมูล หรคือแหล่งที่มาโดยตรง แต่ได้จากข้อมูลที่มีผู้อื่นเก็บรวบรวมไว้แล้ว
3. วิธีการเก็บรวบรวมข้อมูลทุติยภูมิ


นายฉัตร์ดนัย เกาประโคน stat 52050556